Trennfunktion für den stationären Siebprozess

4.1 Die neue TrennfunktionT(x, α′, β)

In Abb. 7 sind beispielhaft für das Material Quarz die Verteilungssummenfunktionen für das Aufgabegut, das Grob- und Feingut nach dem Siebprozess dargestellt.

Abb. 8a–d zeigt die Messwerte der Siebversuche und die mit der neuen Funktionsgleichung (Gl. 9) berechneten Trennfunktionen T(x, α′, β). Die Berechnung der neuen Trennfunktion erfolgte auf Basis der jeweiligen Messwerte mit der Vorgabe, dass für den Funktionswert bei T(x = 0) der tote Fluss a = 0 gilt. Unter Berücksichtigung der Methode der kleinsten Fehlerquadrate werden die jeweiligen Trennfunktionen mit der Trennschärfe α′ und der neue eingeführte Trenneffizienz β berechnet. Zur Darstellung der Reproduzierbarkeit wurden jeweils 5 Messungen durchgeführt und berechnet. In Abb. 8a sind für das Stoffsystem Quarz die Ergebnisse der Versuche mit einer Amplitude von 1 mm und einer Siebzeit von 5 min dargestellt.

Wie Abb. 8a zeigt, ermöglicht die neue Funktion T(x, α′, β) (Gl. 9) eine exakte Berechnung der Trennfunktion dieses Siebklassierprozesses. Sowohl im Feingutbereich wie auch im Grobgutbereich lässt sich die Trennfunktion sehr genau ermitteln und basierend auf den Messdaten darstellen. Bei diesem Beispiel ergibt sich eine Fehlerquadratsumme von f ² = 5,95 · 10⁻³. Die Trennschärfe berechnete sich in diesem Beispiel zu α′ = 0,1241 und die Trenneffizienz β zu β = 13,354. Die Trenngrenze x_T ergibt sich in diesem Beispiel zu x_T = 375,56 μm.

Die in Abb. 8b–d dargestellten Trennfunktionen T(x, α′, β) wurden ebenfalls alle mit einer Siebzeit von 5 min und bei einer Amplitude von 1 mm ermittelt. Auch Abb. 8b macht deutlich, dass die Trennfunktion T(x,α′,β) für den stationären Siebprozess den Prozess für dieses Partikelsystem sehr gut beschreiben kann. Die Fehlerquadratsummen lagen für alle Untersuchungen im Bereich 3 · 10⁻⁴ ≤ f ² ≤ 7 · 10⁻². Für das Beispiel der Kalksteinpartikel (Abb. 8b) ergab sich eine Trennschärfe von α = 0,0766, Trenneffizienz von β = 13,2934 und eine Trenngrenze x_T = 3,113 mm. Dieses Ergebnis ist insbesondere von Bedeutung da sich zeigt, dass auch eine Siebklassierung von Stoffsystemen mit breiter Partikelgrößenverteilung des Aufgabegutes sehr gut mit der neuen Funktion beschrieben werden kann.

Für die Maisgrießproben (Abb. 8c) ergab sich eine Trennschärfe α′ = 0,27096, eine Trenneffizienz β = 8,29211 und eine Trenngrenze von x_T = 0,7537 mm und für das Stoffsystem Pflanzengranulat (Abb. 8d) wurde eine Trennschärfe von α′ = 0,51974, eine Trenneffizienz von β = 6,1718 und eine Trenngrenze x_T = 3,883 mm ermittelt.

Auch für diese Stoffsysteme, die sich durch unterschiedliche Partikelformen auszeichnen, in zwei verschieden Partikelgrößenbereichen liegen und eine deutlich unterschiedliche Dispersität aufweisen, können die Trennfunktionen T(x, α′, β) sehr gut dargestellt werden.

Zusammenfassend kann festgestellt werden, das der stationäre Siebprozess mit der neuen Trennfunktion T(x, α′, β) sehr gut beschrieben werden kann. Insbesondere im Feingutbereich ist eine sehr gute Übereinstimmung der berechneten Funktionen mit den Messwerten zu beobachten. Die gewählten Stoffsysteme weisen Partikelgrößen von unteren µm-Bereich bis in den Millimeterbereich und insbesondere engere und breite Größenverteilungen auf, was bedeutet, das die neue Trennfunktion unabhängig von dem Größenbereich der Partikelfraktionen und der Dispersität zur Beschreibung der Trenncharakteristik stationärer Siebprozesse eingesetzt werden kann.

4.2 Einfluss der Trenneffizienzβauf die Trennfunktion

Zur Ermittlung des Einflusses der Trenneffizienz β auf die Trennfunktion wurden basierend auf den Messwerten die Trennfunktionen T₁(x, α′, β) gemäß Gl. 9 berechnet. Wie in Abschn. 4.1 wurde der tote Fluss a = 0 gesetzt. Für die Bestimmung der Funktion T₂(x, α′) wurde ebenfalls die Berechnung der Trennfunktion nach Gl. 9 durchgeführt, aber der Wert für die Trenneffizienz β = 1 gesetzt. Abb. 9a zeigt das Ergebnis für das Partikelsystem Quarz. Die Siebzeit betrug hier ebenfalls t = 5 min und die Amplitude 1 mm.

Es zeigt sich deutlich, dass sowohl im Feingutbereich zwischen x_i1 ≈ 200 µm und x_i2 ≈ 350 µm wie auch im Grobgutbereich zwischen x_i3 ≈ 450 µm und x_i4 ≈ 700 µm die Einführung der Trenneffizienz β einen wesentlichen Vorteil zur Beschreibung der Trennfunktion für den stationären Siebprozess bietet. Für dieses Beispiel ergibt sich nach der Trennfunktion T₁(x, α′, β) eine Trennschärfe von α′₁ = 0,1235 und eine Trenneffizienz von β₁ = 13,3636. Bei der Funktion T₂(x, α′) ergibt eine Trennschärfe von α′₂ = 14,1615.

Für das Partikelsystem Kalkstein (Abb. 9b), das eine wesentlich größere Partikelgröße und eine breitere Partikelgrößenverteilung aufweist, ergibt sich eine nicht ganz so zufriedenstellende Beschreibung der Trennfunktion der Siebklassierung. Aber auch hier zeigt sich die deutlich verbesserte Beschreibung der Trennfunktion im Fein- und Grobgutbereich durch die neue Trennfunktion T₁(x, α′, β). Die ermittelte Trennschärfe ergibt sich in diesem Beispiel zu α′₁ = 0,0425 und die Trenneffizienz zu β₁ = 13,3083. Bei der Funktion T₂(x, α′) ergibt eine Trennschärfe von α′₂ = 12,8771.

Für die beiden Systeme Pflanzengranulat und Maisgrieß (Abb. 9c und 9d) ergeben sich folgende Parameter: Für das Produkt Pflanzengranulat eine Trennschärfe von α′₁ = 0,3348 und die Trenneffizienz von β₁ = 8,4140. Bei der Funktion T₂(x, α′) ergibt eine Trennschärfe von α′₂ = 9,4618. Für die kleineren Maisgrießpartikel berechnet sich die Trennschärfe zu α′₁ = 0,1554 und die Trenneffizienz zu β₁ = 11,4851. Bei der Funktion T₂(x, α′) ergibt eine Trennschärfe von α′₂ = 11,7098.

In Abb. 9d ist zu beobachten, dass auch hier im Fein- und Grobgutbereich eine wesentlich bessere Charakterisierung des Siebklassierprozesses durch die neue Trennfunktion T(x, α′, β) möglich ist. Bei Verwendung der neuen Trennfunktion T(x, α′, β) ergeben sich für den Trennschärfeparameter α′ Werte im Bereich 0,04 ≤ α′₁ ≤ 0.4 und Trenneffizienzparameter im Bereich 8 ≤ β ≤ 14. Hingegen ergaben sich Trennschärfeparameter bei Berechnung mit der Trennfunktion T₂(x, α′) im Bereich von 8 ≤ α′₂ ≤ 15. Durch die Einführung der Trenneffizienz β konnte eine deutliche Reduzierung der Summe der kleinsten Fehlerquadrate, teilweise um den Faktor 10, erreicht werden. Durch den Vergleich der Trennfunktionen bei Berücksichtigung des Parameters β und ohne die Trenneffizienz β konnte gezeigt werden, dass die neue Trennfunktion T(x, α′, β) eine wesentlich Verbesserung für die Charakterisierung des Siebklassierprozesses ermöglicht.

In Abb. 10 wurde am Beispiel der Messwerte des Stoffsystems Quarz bei konstantem Trennschärfeparameter α′ = 0,1241 der Einfluss des Trenneffizienzparameters β ermittelt. Die Trenneffizienz wurde in den Grenzen von 2 ≤ β ≤ 30 variiert.

Es zeigt sich, dass bei kleinerem Trenneffizienzparameter β als der optimal berechnete Trenneffizienzparameter β ≤ 13,35 die Funktionen einen deutlich flacheren Verlauf aufweisen. Durch diese Funktionsverläufe würde ein toter Fluss simuliert. Die Funktionen mit einem Trenneffizienzparameter β ≥ 13,35 weisen einen steilen Funktionsverlauf mit schärferen Krümmungsradien als die wirkliche Trennfunktion auf.

4.3 Vergleich der Trennfunktionen

Die Trennfunktionen für den stationären Siebklassierprozess (s. Abschn. 2) sind bespielhaft für ein Stoffsystem in Abb. 11 dargestellt. Die Trennfunktionen wurden gemäß der verschiedenen Modelle nach Rogers (Gl. 6), Molerus (Gl. 7), Plitt (Gl. 8) und dem neu vorgestellten Modell T(x, α′, β) (Gl. 9) berechnet.

Für die Modelle von Rogers und Molerus ergeben sich sehr ähnliche Funktionsverläufe und für das Modell von Plitt wird ein geringfügig anderer Verlauf dargestellt. Alle diese Modelle zeigen keine Übereinstimmung mit den Messwerten. Im Feingut- und auch im Grobgutbereich konnten keine Übereinstimmungen mit den Messwerten festgestellt werden. Das neue hier vorgestellte Modell einer Trennfunktion für stationäre Siebklassierprozesse T(x,α′,β) zeigt eine deutlich bessere Übereinstimmung mit den experimentellen Daten und beschreibt somit die Trennfunktion eines Siebklassierprozess wesentlich genauer.