Die Brunn-Minkowskische Ungleichung und ihr Spiegelbild sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie. I
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In der euklidischen Geometrie gehört die Brunn-Minkowskische Ungleichung für konvexe Körper zum klassischen Bestand, während in der hyperbolischen und sphärischen Geometrie eine entsprechende Erkenntnis bisher fehlte. Daß die Brunn-Minkowskische Ungleichung und damit auch der über sie führende Beweis der isoperimetrischen in der euklidischen Geometrie auch ohne die Voraussetzung der Konvexität gültig bleiben, ist eine wichtige. Entdeckung von Lusternik, die er 1935 unter kurzer Vorzeichnung des Beweises veröffentlicht hat. Der erste vollständig durchgeführte Beweis, der ohne Symmetrisierung bis zur Feststellung der Kugel als der unter geringen Einschränkungen einzigen Extremalpunktmenge führt, findet sich in einer schönen Arbeit von A. Dinghas; ein besonders einfacher Beweis ist von A. Dinghas gemeinsam mit dem Verfasser gegeben worden.
Vgl.
L. Lusternik,
Die Brunn-Minkowskische Ungleichung für beliebige meßbare Punktmengen.
C. R. Acad. Sci. URSS.1935III,
55–58;
A. Dinghas,
Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel im n-dimensionalen Raum.
S.-B. Akad. Wiss. Wien, math.-naturw. Kl. IIa149
(1940),
399–432;
Erhard Schmidt und
A. Dinghas,
Einfacher Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel im n-dimensionalen euklidischen Raum.
Abh. Preuß. Akad. Wiss., math.-naturw. Kl.1943,
Nr. 7.
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Dieser Satz ist für den euklidischen Raum bekannt. Er rührt von Bieberbach her Vgl.
L. Bieberbach,
Über eine Extremaleigenschaft des Kreises.
Jber. Deutsche Math.-Verein.24
(1915),
247–250.
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Ebenso könnte natürlich auch lim der Definition zugrunde gelegt werden; hier ist lim gewählt, weil die Gültigkeit der isoperimetrischen Ungleichung bei letzterer Definition ihre Gültigkeit bei ersterer a fortiori sicherstellt.
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